Senin, 10 Mei 2010

MATEMATIKA

B.2 Konsep Fungsi Linier
a. Tujuan
Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat:
_ Membuat grafik fungsi linier.
_ Menentukan persamaan grafik fungsi linier yang melalui dua titik, melalui satu titik
dan gradien tertentu, dan jika diketahui grafiknya.
_ Menemukan syarat hubungan dua grafik fungsi linier saling sejajar dan saling tegak
lurus
_ Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi Linier
b. Uraian Materi
1). Pengertian fungsi linier
Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi
yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebut
dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.:
f : x _ mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c
m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta
Contoh 17
Fungsi linier
_ f : x _ 2x + 5
_ f(x) = 5x -10
_ y = x - 7
_ 3y +4x = 12
_ y = 5
bukan fungsi linier
_ y = x2+ 1
_
y
2
= x
_ 5xy + y = 10
BAB II Konsep Fungsi 51
2). Melukis grafik fungsi linier
Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier
a Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0)
b Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1)
c hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus
Contoh 18
Lukislah grafik dari y = 2x – 6
Jawab:
Titik potong dengan sumbu x _ y = 0
y = 2x – 6
0 = 2x - 6
6 = 2x
x1 = 3 _ (3, 0)
Titik potong dengan sumbu y _ x = 0
y = 2x – 6
y = 2.0 - 6
y1 = - 6 _ (0, - 6)
sehingga diperoleh tabel :
x 3 0
y 0 - 6
(x, y) (3, 0) (0, -6)
Grafiknya diperoleh pada gambar 1.
Untuk lukisan selanjutnya cukup dibuat tabel seperti di atas
. . . .
y
y = 2x - 6
x
(0, -6)
(3, 0)
Gb 1
Contoh 19
Lukislah grafik dari y = 8– 4x
Jawab:
Dengan langkah di atas diperoleh tabel:
x 2 0
y 0 8
(x, y) (2, 0) (0, 8)
Grafiknya diperoleh pada gambar 2
Contoh 20
Lukislah grafik dari 3x + 5y = 15
Jawab:
Dengan langkah di atas diperoleh tabel:
x 5 0
y 0 3
(x, y) (5, 0) (0, 3)
Grafiknya diperoleh pada gambar 3
Contoh 21
Lukislah grafik dari x = 900 – 3y
Jawab:
Dengan langkah di atas diperoleh tabel:
x 900 0
y 0 300
(x, y) (900, 0) (0, 300)
Grafiknya diperoleh pada gambar 5
y
5
3
Gb. 3 y
900 x
300
Gb. 5
52 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi
Contoh 22
Lukislah grafik dari y = 4x
Jawab:
Fungsi di atas grafiknya memotong titik
pangkal (0, 0) karena tidak ada
konstanta jadi untuk melukisnya hanya
butuh satu titik saja, misal x = 2 maka
y = 2.4 = 8 sehingga tabelnya sebagai
berikut.
x 0 2
y 0 8
(x, y) (0, 0) (2, 8)
Grafiknya diperoleh pada gambar 4
Contoh 23
Lukislah grafik dari y =
3
1
x – 2
Jawab:
Persamaan fungsi di atas memuat
pecahan, untuk menghilangkan pecahan
kalikan dengan 3 sehingga diperoleh
persamaan 3y = x – 6, dengan langkah di
atas diperoleh tabel sebagai berikut:
x 6 0
y 0 -2
(x, y) (6, 0) (0, -2)
Grafiknya diperoleh pada gambar 6
2
8
y
x
Gb. 4
-2
6 x
y Gb. 6
3). Membuat persamaan garis lurus dari grafiknya
b
a x
y
Dari grafik di atas, persamaan garisnya
adalah bx + ay = ab
Dari grafik di atas, persamaan garisnya
adalah y =
a
b
x
BAB II Konsep Fungsi 53
Contoh 24
Tentukanlah persamaan garisnya dari grafik di bawah ini
3
x
y
4
-2
5 x
y
x
y
6
4
5
-2
x
y 300
200
x
y
a b c
d e
Jawab:
a. a = 3, b = 4, maka persamaan fungsinya
4x + 3y = 3.4
4x + 3y = 12
b. a = 5, b = -2, maka persamaan fungsinya
-2x + 5y = -2.5
-2x + 5y = -10 atau 2x – 5y = 10
c. a = 6, b = 4, maka persamaan fungsinya
y =
6
4
x
6y = 4x
3y = 2x atau 2x – 3y = 0
d. a = -2, b = 5, maka persamaan fungsinya
y =
2
5
_
x
-2y = 5x atau 5x + 2y = 0
e. a = 200, b = 300, maka persamaan
fungsinya
300x + 200y = 60.000
3x + 2y = 600
4). Gradien dan persamaan garis lurus
a). Garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) memiliki gradien m:
m =
1 2
1 2
x x
y y
_
_
atau m =
2 1
2 1
x x
y y
_
_
Contoh 25
Tentukan gradien dari garis lurus yang melalui titik-titik:
a. A(2, 4) dan B(3, 8)
b. P(-2, 1) dan Q(4, -11)
Jawab:
a. A(2, 4) berarti, x1 = 2 dan y1 = 4 dan B(3, 8) berarti x2 = 3 dan y2 = 8
54 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi
m =
2 1
2 1
x x
y y
_
_
=
3 2
8 4
_
_ = 4
b. P(-2, 1) berarti, x1 = -2 dan y1 = 1 dan B(4, -11) berarti x2 = 4 dan y2 = -11
m =
2 1
2 1
x x
y y
_
_
=
4 ( 2)
11 1
_ _
_ _ =
6
_12 = -2
b. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah:
2 1
1
y y
y y
_
_
=
2 1
1
x x
x x
_
_
Contoh 26
Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui titik (3, -4) dan ( -2, 6)
Jawab:
x1= 3, y1 = -4, x2 = -2 dan y2 = 6, maka persamaan fungsi linier atau persamaan
garis lurusnya adalah:

2 1
1
y y
y y
_
_
=
2 1
1
x x
x x
_
_

6 ( 4)
y ( 4)
_ _
_ _ =
2 3
x 3
_ _
_

10
y _ 4 =
5
x 3
_
_
-5(y + 4) = 10 ( x – 3)
-5y – 20 = 10 x – 30 di bagi -5
y + 4 = - 2x + 6
y + 2x + 4 – 6 = 0
y + 2x – 2 = 0 atau
y + 2x = 2 atau
y = -2x + 2
Contoh 27
Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui titik (3, 1) dan ( -5, 5)
Jawab:
x1= 3, y1 = 1, x2 = -5 dan y2 = 5

2 1
1
y y
y y
_
_
=
2 1
1
x x
x x
_
_

5 1
y 1
_
_ =
5 3
x 3
_ _
_

4
y _1 =
8
x 3
_
_
-8( y – 1) = 4 ( x – 3)
-8y + 8 = 4x – 12 dibagi - 4
2y – 2 = -x + 3
2y + x – 2 – 3 = 0
2y + x – 5 = 0 atau
2y + x = 5
c. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik A(x1, y1) adalah:
y = m (x – x1 ) + y1
Contoh 28
Tentukanlah persamaan garis lurus yang bergradien 2 dan melalui titik (-3,1)
Jawab:
y = m (x – x1 ) + y1
y = 2 (x – (-3)) + 1
y = 2 (x + 3 ) + 1
y = 2x + 6 + 1
y = 2x + 7
BAB II Konsep Fungsi 55
Contoh 29
Tentukanlah persamaan garis lurus yang bergradien
3
2
_ dan melalui (-6, 2)
Jawab:
y = m (x – x1 ) + y1
y =
3
2
_ (x – (-6)) + 2
y =
3
2
_ (x + 6 ) + 2
y =
3
2
_ x - 4 + 2
y =
3
2
_ x – 2 atau kali 3
3y = -2x – 6 atau 3y + 2x + 6 = 0
5). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl)
_ Persamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m =
b
a
_
_ Persamaan garis lurus : y = ax + b maka m = a
_ Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = 0
_ Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki gradien
Contoh 30
a gradien dari Pgl : 2x + y = 5 adalah m =
b
a
_ =
1
2
_ = -2
b gradien dari pgl : - 4x + 2y – 2 = 0 adalah m =
b
a
_ =
2
_ 4
_ = 2
c gradien dari pgl : -3y + 2x + 3 = 0 adalah m =
b
a
_ =
3
2
_
_ =
3
2
d gradien dari pgl : y = 4x + 1 adalah m = 4
e gradien dari pgl : y = -10 adalah m = 0
6). Titik potong dua buah garis
Menentukan titik potong dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikan
penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode eleminiasi,
metode substitusi maupun metode grafik
Contoh 31
Tentukan titik potong persamaan garis : y = 3x + 5 dan y = -2x + 15
Jawab:
Eliminasi y,
y = 3x + 5
y = -2x + 15 –
0 = 5x - 10
56 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi
5x = 10 _ x = 2
y = 3x + 5
5
ris di atas adalah (2, 11)
ontoh 32
persamaan garis : 5x – 3y = 9 dan 7x – 6y = 9
Eliminasi y,
substitusi x = 2 ke
y = 2 .3 +
y = 11 Jadi titik potong kedua ga
C
Tentukan titik potong
Jawab:
3x 9
7x 6y 9
5x _ 3y _ 9 x 2 10x 6y 18
7x 6y 9 x 1
_
_ _ _
_ _
_ _
x = 3
subst si x = 3y = 9
– 15
(3, 2)
bungan dua buah garis
1 an m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan tegak lurus
h 33
a persamaan garis di bawah ini, manakah yang saling sejajar dan
itu 3 ke 5x –
5(3) – 3y = 9
-3y = 9
y = 2
Jadi titik potong kedua garis di atas adalah
7). Hu
Dua garis yang bergradien m d
jika m1 x m2 = -1
Conto
Dari beberap
berpotongan tegak lurus.
I. 2x + y – 4 = 0
II. y = -2x + 1
III. 2y – x = 8
IV. 3y + 2x + 1 = 0
V. y =
2
3
x
3
2
x –
3
2
VI. y =
Jawab:
I
b
a
1
2
_ = -2, mII =
b
a
_ = -2, mIII =
b
a
_ =
2
_1
_ =
2
1
m = _ = ,
mIV =
b
a
_ =
3
2
_ , mV =
2
3
dan mVI =
3
2
dan II saling sejajar karena gradiennya sama, yaitu m = -2
dan III, IV dan V berpotongan tegak lurus karena mI . mIII = -1 dan mIV . mV = -1
I
I
BAB II Konsep Fungsi 57
samaan garis yang sejajar garis y – 3x + 1 = 0 dan melalui titik (2, -4)
= 0 maka m1 =
Contoh 34
Tentukan per
Jawab:
1
_ 3
y – 3x + 1 _ = 3 karena sejajar maka m1 = m2 jadi m2 = 3
2 1 1
ontoh 35
samaan garis yang tegak lurus 2y + x = 1 melalui titik pangkal (0, 0)
Jawab:
= 0 maka m1 = -
y = m (x – x ) + y
y = 3 (x – 2 ) + (-4)
y = 3 x – 6 – 4
y = 3x – 10
C
Tentukan per
2
1
2y + x + 1 = -0,5
karena tegak lurus maka m1 . m2 = -1
1
2 m
1
m _
_ =
0,5
_1 = 2, jadi persamaan g
_
arisnya adalah:
y = m2 (x – x1 ) + y1
ontoh 36
ris yang tegak lurus y = -
y = 2(x – 0) + 0
y = 2 x
C
4
1
Tentukan persamaan ga x dan melalui titik potong
persamaan garis y = -x + 4 dan garis y = 3x – 8
Jawab:
y = -
4
1
x maka
4
1
m1 = - karena tegak lurus maka m1 . m2 = -1 diperoleh m2 = 4
ng n
= 3
bstitusikan nilai x = 3 ke persamaan 1 atau 2 diperoleh y = 1 sehingga titik potong
= m2 (x – x1 ) + y1
Menentukan titik poto persamaan garis : y = -x + 4 dan garis y = 3x – 8 denga
metode substitusi diperoleh:
-x + 4 = 3x – 8
-4x = -12 x
su
kedua garis tersebut adalah (3, 1). Persamaan garis yang akan dibuat adalah
bergradien m = 4 dan melalui (3, 1), yaitu
y
y = 4 (x – 3 ) + 1
y = 4x – 12 + 1
y = 4x – 11
58 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi
1. Lukislah grafik garis lurus di bawah ini:
a y = 3x +6 f 3x – 2y = 900
42.000
b y = 12 – 3x
c 2x + 5y = 10
d y = -2x
e. y =
2
1
x
g y – 2x = 0
h y – 3x + 6 =0
i 360y + 240x =
j. y =
2
1
x + 4
persamaannya dari grafik di bawah ini :
2. Tentukan
. Tentukanlah gradiennya dari garis lurus yang melalui titik-titik di bawah ini:
4. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik di bawah ini:
1)
5. Tentukanlah gradien garis yang memiliki persamaan:
0
3
a (-4, 5) dan (4, -1)
b (3, -5) dan (-3, 5)
c (-2, 4) dan (4, 5)
d (2, 6) dan ( -4, 6)
e (4, -2) dan ( 4, 8)
a (2, 5) dan ( 5, 8)
b ( 4, -1) dan ( -2, 1
c ( 4, 3) dan ( -1, -4)
d ( -2,4) dan ( -2, 8)
a y = -3x + 2 d y = x + 4
b 3x – y + 6 =
c.
3
2
x + 3y + 9 = 0
e x + y = -5
f. –
5
4
x – 2y + 1 = 0
6. Tentukanlah persamaan garis yang diketahui sebagai berikut:
a Gradien m = -4 dan melalui (2, 5)
b gradient m = 2 dan melalui (-4, 5)
c Gradien m =
3
1
_ dan melalui titik pangkal
d Gradien m =
1
dan melalui ( -6, 1)
2
BAB II Konsep Fungsi 59
ak lurus, sejajar atau tidak duanya:
0
d 3x – 9y + 1 = 0
=0
8. T garis lurus yang :
a sejajar garis x + y + 1 = 0 dan melalui titik (1,2)
elalui titik (-3, 6 )
erikut :
a. Melalui dua titik (2, -4) dan ( 5, 5)
lui (-2, 4)
elalui ( 3, -1)
h titik potongnya.
potong
dua garis 2x – y = 7 dan x + 3y = 7.
12. urus y = 4x dan melalui titik potong dua
garis x + 2y – 10 = 0 dan 2x – y – 15 = 0
plikasi fungsi linier dalam bidang ekonomi
enal tentang hukum ekonomi, yaitu jika harga suatu barang
aik maka permintaan terhadap barang tersebut menurun, sebaliknya jika harga suatu
linier dengan bentuk
Po = harga barang tertinggi > 0)
7. Selidiki apakah dua garis berpotongan teg
a. 4y – 2x = 0
2y – x – 6=0 y = 1/3 x -1
b. 2y – x – 4=0
2y + 6x – 7 =
c. 2y – x = 6
y = -2 x + 10
e 2y – x + 8 =0
8y – 4x – 24
f 2y = 3x + 4
-2y + 3x = 1
entukan persamaan
b tegak lurus garis x + 5y = 0 dan m
9. Tentukanlah persamaan garis lurus yang diketahui sebagai b
b. Bergradien -5 dan melalui titik pangkal
c. Bergradien 3 dan melalui (-5,-1)
d. Melalui ( 8, -4) dan titik pangkal
e. Sejajar garis: y = 3x + 3 dan mela
f. Tegak lurus : 3y – x + 8 = 0 dan m
10. Lukis garis y = 3x – 9 dan x + 2y = 10 dan tentukanla
11. Tentukan persamaan garis yang sejajar garis 5x – y = 2 dan melalui titik
Tentukan persamaan garis yang tegak l
8). A
a). Fungsi Permintaan
Dalam dunia bisnis, dik
n
barang turun maka permintaan terhadap barang tersebut naik.
Secara matematika, harga barang merupakan fungsi dari permintaan. Fungsi
permintaan yang paling sederhana adalah fungsi permintaan
umum fungsi permintaan sebagai berikut:
P = Po + m x
Dengan P = harga satuan per unit
saat x = 0 (Po
x = jumlah barang (x > 0)
m = gradien fungsi dengan a selalu bernilai negatif( m < 0) uadran I dan turun dari kiri atas ke kanan bawah Kurva permintaan selalu di k Perhatikan gambar II.a 60 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi b). Fungsi Penawaran tentang hukum penawaran, yaitu jika harga suatu arang naik maka jumlah barang yang ditawarkan juga ikut naik, sebaliknya jika harga awaran terhadap barang tersebut juga turun. = 0 (Po > 0)
x = jumlah barang (x >
Dalam dunia bisnis, juga dikenal
b
barang turun maka pen
Secara matematika, harga barang merupakan fungsi juga dari penawaran. Fungsi
penawaran yang paling sederhana adalah fungsi penawaran linier dengan bentuk
umum fungsi penawaran sebagai berikut:
P = Po + m x
Dengan P = harga satuan per unit
Po = harga barang terendah saat x
0)
a selalu bernilai positif ( m > 0)
kiri bawah ke kanan atas.
m = gradien fungsi dengan
Kurva penawaran selalu di kuadran I dan naik dari
Perhatikan gambar II.b
Gambar II.a : Fungsi permintaan Gambar II.b : Fungsi penawaran
Contoh 37
man rmintaan dan fungsi
enawaran.
c. P = 2x + 10
merupakan fungsi pe radiennya -4 ( m < 0) . P – 3x = 600 merupakan fungsi penawaran karena nilai gradiennya 3 ( m > 0)
2x + 10 merupakan fungsi penawaran karena nilai gradiennya 2 ( m > 0)
at harganya Rp6.000 jumlah barang yang diminta adalah 500 unit.
ungsi permintaan liniernya
dan x = 500 disubstitusikan ke fungsi permintaan
P = Po + m x diperoleh:
Dari fungsi linier di bawah ini, akah yang termasuk fungsi pe
p
a. P = - 4x + 400
b. P – 3x = 600 d. P + 10x = 1.000
Jawab:
a. P = - 4x + 400 rmintaan karena nilai g
b
c. P =
d. P + 10x = 1.000 merupakan fungsi permintaan karena nilai m = -10 ( m < 0) Contoh 38 Harga tertinggi pada fungsi permintaan suatu barang adalah Rp8.000,00. Jika pada sa a. Tentukan f b. Lukis kurva permintaannya Jawab: a. Po = 8.000, P = 6.000 BAB II Konsep Fungsi 61 0 = 8.000 + m . 500 : P = -4x + 8.000 k melukis fungsi linier, maka kurva P = -4x + 8.000 6.00 500 m = - 2.000 m = -4 Jadi fungsi permintaannya b. Dengan mengguna an prinsip dapat dilukis sebagai berikut: P 0 2.000 x 8.000 0 Contoh 39 suatu hukum penawaran suatu barang diperoleh data: jika harga barang p900,00 tiap unit maka jumlah barang yang ditawarkan 20 unit, dan jika harga 00,00 tiap unit maka jumlah barang yang ditawarkan 50 unit. P = Po + m x k P = 800 dan x = 20 diperoleh persamaan: 900 = Po + 20 m . . . 1) 00 = Po + 50 m . . . 2) Dalam R barang Rp1.2 a. Tentukan rumus fungsi penawarannya b. Jika Jumlah barang yang ditawarkan 1.000 unit, tentukan harga barang tersebut. Jawab: a. Fungsi penawaran linier dirumuskan sebagai berikut: Untu Untuk P = 1.200 dan x = 50 diperoleh persamaan: 1.2 Dari 1) dan 2) jika Po di eliminasikan, diperoleh: 900 P 20m_ o o _ _ _ P _ 50m 300 = 30 m 1200 m = 10, substitusikan nilai m = 10 ke 1) diperoleh: 900 = P + 20 m o 900 = Po + 200 Po = 700 Jadi fungsi penawarannya: P = 10x + 700 b. P = 10 . 1.000 + 700 = Rp10.700,00 62 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi c). Titik Kesetimbangan Pasar asar merupakan tempat bertemunya penjual dan pembeli untuk mengadakan itu akan terjadi tawar-menawar antara penjual dan disebut dengan kesetimbangan pasar akan terjadi r. alam bentuk grafik: P transaksi jual beli. Oleh karena pembeli. Harga pasar atau sering bila harga yang diminta konsumen sesuai dengan harga yang ditawarkan produsen. Secara matematika, kesetimbangan pasar terjadi apabila kurva permintaan dan kurva penawaran berpotongan pada sebuah titik yang dinamakan titik kesetimbangan pasa D Gambar II.c : Titik kesetimbangan Menentukan titik kesetimbangan pasar diperoleh dengan cara menyelesaikan sistim ersamaan linier dua var dari fungsi permintaan dan fungsi penawaran di bawa ini: rmintaan: P = -2x + 600 00 100 3x + 100 = -2x + 600 3x + 2x = 600 – 100 100 3. 100 + 100 = 400 sar terjadi pada saat harga Rp400 dan jumlah barang ak 100 unit p iabel x dan P Contoh 40 Tentukan titik kesetimbangan pasarnya h a. Fungsi pe Fungsi penawaran: P = 3x + 100 b. Fungsi permintaan: 2P + 5x = 1.5 Fungsi penawaran: 3P – 4x = 1. Jawab: a. Harga penawaran = harga permintaan 5x = 500 x = 100 Harga penawaran: P = 3x + P = Jadi titik kesimbangan pa yang diminta atau ditawarkan sebany b. 2P = -5x + 1.500 P = - 2 5 x + 750 3P = 4x + 1.100 P = 3 4 x + 3 1.100 BAB II Konsep Fungsi 63 Harga penawaran = harga permintaan 4 1.100 5 x + = - 3 3 2 x + 750 (kalikan 6) = 23x = 2.300 x .100 00 sar terjadi pada saat harga Rp500 dan jumlah barang 100 unit pulang pok biay edit bank dan lain-lain) dan biaya ariabel (biaya yang diperlukan dalam proses produksi). aha disebut n biaya total yang dikeluarkan, tentukan fungsi biayanya. k even point terjadi jika: Biaya total = pendapatan 00.000 = 10.000 x 0 = 10.000 x – 6.500 x x = 8x + 2.200 -15x + 4.500 8x + 15x = 4.500 – 2.200 = 100 Harga penawaran: 3P = 4x + 1.100 3P = 4. 100 + 1 P = 5 Jadi titik kesimbangan pa yang diminta atau ditawarkan sebanyak d). Titik ok (Break even point) Suatu perusahaan dalam memproduksi barang tentu akan memerlukan biaya, yaitu a tetap (upah karyawan, biaya gedung, bunga kr v Dalam suatu usaha yang dijalankan, suatu perusahaan akan terjadi kemungkinan: Jika pendapatan yang diterima melebihi biaya total (biaya variabel + biaya tetap) yang dikeluarkan, maka usaha tersebut dikatakan untung. Jika pendapatan yang diterima kurang dari biaya total yang dikeluarkan, maka us tersebut dikatakan rugi. Jika pendapatan yang diterima sama dengan biaya total yang dikeluarkan, maka usaha tersebut dikatakan dalam kondisi tidak tidak rugi. Kondisi seperti ini dengan titik pulang pokok atau untung maupun break even point Contoh 41 CV SEJAHTERA memproduksi mainan anak-anak dengan biaya Rp6.500,00 tiap unit. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp17.500.000,00. Jika mainan akan dijual Rp10.000,00/tiap unit, tentukan: a. Jika B merupaka b. Jumlah mainan yang harus terjual agar terjadi break even point c. Jumlah mainan yang harus terjual agar perusahaan untung Rp17.500.000,00 Jawab: a. B = Biaya variabel + biaya tetap B = 6.500 x + 17.500.000 b. Brea 6.500 x + 17.5 17.500.00 5.000 3.500 17.500.000 _ even point adalah 5.000 unit Jumlah mainan yang harus terjual agar terjadi break 64 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi c. Untung = pendapatan – biaya total 17.500.000 = 10.000x – (6.500 .500.000) 17.500.000 = 10.000x – 6 – 17.500.000 x + 17 .500 x 17.500.000 + 17.500.000 = 3.500x x = 10.000 3.500 _ 35.000.000 adalah 10.000 unit . Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu ata + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c b. c. h a Jumlah mainan yang harus terjual agar untung Rp17.500.000,00 c. Rangkuman 1 u suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus dengan bentuk umumnya sbb.: f : x _ mx 2. Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier a. Tentukan titik potong dengan sumbu x dengan y = 0 ; A( x1, 0) Tentukan titik potong dengan sumbu y dengan x = 0 ; B( 0, y u 1) bungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus 3. Membuat persamaan garis lurus dari grafikny b a x y Dari grafik di atas, persamaan garisnya adalah bx + ay = ab Dari grafik di atas, persamaan garisnya adalah y = a b x 4. Garis lurus yang melalui A(x1, y1) dan B(x2, y2) memiliki gradien m = 1 2 1 2 x _ x dan B(x y ) : y _ y 5. Persamaan garis lurus melalui A(x1, y1) 2, 2 2 1 1 y y y y _ _ = 2 1 1 x x x x _ _ x1 ) + 7. Persamaan garis lurus : ax + by = c memiliki gradien m = 6. Persamaan garis lurus bergradien m dan melalui A(x1, y1) : y = m (x – y1 b a _ 8. Persamaan garis lurus : y = ax + b memiliki gradien m = a 9. Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = 0 BAB II Konsep Fungsi 65 10. Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x = c dan ti dak memiliki gradien ngan menyelesaikan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode lurus jika m1 x m2 = -1 13. P = Po + m x r unit Po = harga barang tertinggi untuk fungsi permintaan x = jumlah barang (x >
11. Menentukan titik potong dua buah garis lurus identik de
eliminasi metode substitusi maupun metode grafik
12. Dua garis yang bergradien m1 dan m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan tegak
Fungsi permintaan dan penawaran linier dirumuskan sebagai berikut:
P = harga satuan pe
Po = harga barang terendah untuk fungsi penawaran
0)
m = gradien fungsi dengan ngsi permintaan
m > 0 ntuk fungsi penawaran
waran selalu di kuadran I
a kurva permintaan dan
kur an pada sebuah titik yang dinamakan titik
kes diperoleh dengan
cara menyelesaikan persamaan
. Jika pendapatan yang diterima sama dengan biaya total yang dikeluarkan, maka
1. D
f
a. 5P + 2x = 400 d. P = -5x + 10
h 350 unit.
taan liniern
annya
Harga terendah pada fungsi penawaran suatu barang adalah Rp5.000,00. Jika pada
m < 0 untuk fu u Kurva permintaan dan pena 14. Secara matematika, kesetimbangan pasar terjadi apabil va penawaran berpotong etimbangan pasar. Menentukan titik kesetimbangan pasar linier dua variabel x dan P 15 usaha tersebut dikatakan tidak untung atau tidak rugi. Hal seperti ini disebut dengan titik pulang pokok atau break even point ari fungsi linier di bawah ini, manakah yang termasuk fungsi permintaan dan ungsi penawaran, berikan alasan dari nilai gradiennya b. 2P – 3x – 300 = 0 e. 10P + 2x = 500 c. 3x = P – 350 f. 5x = 2p – 250 2. Harga tertinggi pada fungsi permintaan suatu barang adalah Rp1.500,00. Jika pada saat harganya Rp800 jumlah barang yang diminta adala a. Tentukan fungsi permin ya b. Lukis kurva perminta 3. saat harganya Rp8.000 jumlah barang yang diminta adalah 600 unit. a. Tentukan fungsi penawaran liniernya b. Lukis kurva penawarannya 66 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi 4. Dalam hukum penawaran suatu barang diperoleh data: jika harga barang Rp500,00 tiap unit maka jumlah barang yang ditawarkan 50 unit, dan jika harga itawarkan 500 unit, tentukan harga barang tersebut. tentukan jumlah barang yang diminta. . Tentukan titik kesetimbangan pasarnya dan sketsa grafiknya dari fungsi Fungsi penawaran: 2P – 5x = 900 d. Fungsi permintaan: 3P + 2x = 230 CV BAGI ADIL memproduksi suatu barang dengan biaya Rp2.500,00 tiap unit. 00,00. Jika produk dijual Rp10.000,00. utor sebesar 20%. Tentukan: a. Tentukan fungsi biayanya B jika B merupakan biaya total yang dikeluarkan. terjadi break even point CV untung Rp2.500.000,00 engan perhitungan 30 % untuk rabat distributor dan 10% untuk akan biaya total yang dikeluarkan. barang Rp650,00 tiap unit maka jumlah barang yang ditawarkan 80 unit. a. Tentukan rumus fungsi penawarannya c. Sketsa grafik penawarannya b. Jika Jumlah barang yang d 5. Dalam hukum permintaan suatu barang diperoleh data: jika harga barang Rp1.250,00 tiap unit maka jumlah barang yang diminta 500 unit, dan jika harga barang 900,00 tiap unit maka jumlah barang yang diminta 600 unit. a. Tentukan rumus fungsi permintaannya b. Jika harga barang Rp1.600,00, 6 permintaan dan fungsi penawaran di bawah ini: a. Fungsi permintaan: P = -7x + 1400 Fungsi penawaran: P = 3x + 400 b. Fungsi permintaan: 3P + 7x = 1.500 c. Fungsi permintaan: x = -4p + 3.400 Fungsi penawaran: 2P = 5x + 600 Fungsi penawaran: 2P – 9x = 50 7. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp12.500.0 dengan pemberian rabat kepada distrib b. Jumlah barang yang harus terjual agar c. Jumlah barang yang harus terjual agar 8. Biaya untuk memproduksi 10 buah kemeja pria adalah Rp800.000,00. Sedangkan bila memproduksi 30 buah adalah Rp2.000.000,00. Jika fungsi biaya dianggap fungsi linier: a. Tentukan persamaan fungsi biayanya b. Tentukan besar biaya tetapnya c. Tentukan besar biayanya jika kemeja yang diperoduksi 50 unit 9. PT KIRANA mencetak sebuah buku dengan biaya Rp12.000,00 tiap unit. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp15.000.000,00. Jika buku dijual dengan harga Rp30.000,00 d royalti pengarang, tentukan : a. Fungsi biayanya B jika B merup b. Jumlah buku yang harus terjual agar terjadi break even point c. Jumlah buku yang harus terjual agar perusahaan untung Rp15.000.000,00 BAB II Konsep Fungsi 67 a. Tu ete M bu simetri dan n ngsi kuadrat lah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi kuadrat Materi mana a, b, c _ R dan menggambar grafik fungsi kuadrat adalah: ik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0 B.3 Fungsi Kuadrat juan S lah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: _ enentukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat, sum ilai ekstrim suatu fungsi _ Menggambar grafik fu _ Menyelesaikan masa b. Uraian Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: f(x) = ax2 + bx + c di a _ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c. Beberapa langkah yang ditempuh untuk a. Titik potong grafik dengan sumbu x, dengan mengambil y = 0 b. Titik potong graf c. Sumbu simetri grafik yaitu x = 2a b _ d. Koordinat titik balik atau titik puncak (x,y) di mana x = 2a b _ dan y = 4a D _ . Grafik terbuka ke bawah jika a < 0 dan terbuka ke atas jika a > 0.
ontoh 42
berikut ini dengan domain bilangan real!
b. g(x) = 4x – x2
– 2x – 8 mempunyai persaman y = x2 – 2x – 8 di mana
ng grafik dengan sumbu x, untuk y = 0
x = 4 atau x = -2
potong dengan sumbu x adalah (-2, 0) dan (4, 0).
l.
= - 8
n sumbu y adalah (0, -8).
dengan D = b2 – 4ac.
e
C
Gambarlah grafik fungsi kuadrat (parabola)
a. f(x) = x2 – 2x – 8
Jawab:
a. Grafik fungsi f(x) = x2
a = 1, b = -2 dan c = -8
_ Titik poto
x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
Titik
Nilai x = 4 dan x = -2 disebut pembuat nol fungsi, artinya pada x = 4 dan x = -2
fungsi tersebut bernilai no
_ Titik potong grafik dengan sumbu y, untuk x = 0
y = 02 – 4(0) – 8
Titik potong grafik denga
68 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi
_ Persamaan sumbu simetri x =
2a
b _
=
2(1)
_ = 1
(_2)
_
x =
Koordinat titik balik
2a
b _ y =
4a
D b2 _ 4ac
4a
_ _ _
=
2(1)
_ (_2) =
4(1)
( 2)2 4(1)( 8)
_ _ _
_
= 1 =
4
_ 32
_ = -9
.
Kare maka grafik membuka ke atas.
Grafik ) = 4x – x2 mempunyai persam
a = -1, b = 4 dan c = 0.
denga , untuk y = 0
x = 0 atau x = 4
but pembuat nol fungsi, artinya pada saat x = 0 dan
x = 4 fungsi tersebut bernilai nol.
grafik dengan sumbu y, untuk x = 0
)2 = 0
engan sumbu y adalah (0, 0).
4
Koordinat titik balik adalah (1,-9)
_ na a = 1 > 0
b. fungsi f(x an y = 4x – x2 dimana koefisien
_ Titik potong grafik n sumbu x
4x – x2 = 0
x(4 – x)= 0
Titik potong dengan sumbu x adalah (0, 0) dan (4, 0).
Nilai x = 0 dan x = 4 dise
_ Titik potong
y = 4(0) – (0
Titik potong grafik d
_ Persamaan sumbu simetri x = 2a _
=
b
2( 1)
4_
_
x =
= 2
_ Koordinat titik balik
2a
_ b y =
4a 4a
_ _ _ D b2 _ 4ac
=
2( 1) _
4
_
=
4( 1)
42 4( 1)(0)
_
_
_
_
= 2 = 4
_ 16 = 4
.
are maka grafik mem uka ke bawah.
inat ti grafik fungsi kuadrat dapat berupa
minimun tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.
ka a < ka titi berupa titik maksimum _ Koordinat titik balik adalah (2, 4) _ K na a = -1 < 0 b Koord tik balik titik maksimum atau titik dan _ Ji 0 ma k balik (1,-9) (0,-8) (-2,0) (4,0) x y 0 x = 1 (2,4) y x = 2 x (4,0) 0 (0,0) 2 4 Rf Df BAB II Konsep Fungsi 69 rupa titik minimum. ada contoh 37 b. grafik fungsi mempunyai titik maksimum (2, 4) dengan nilai nimum -9 atau y = -9. _ Jika a > 0 maka titik balik be
P
maksimum sama dengan 4 atau y = 4. Sedangkan pada contoh 37 a. grafik fungsi
mempunyai titik minimum (1,-9) dengan nilai mi
4a
b 4ac
4a
y D
2 _ Sehingga nilai maksimum atau minimum grafik fungsi adalah _ _ _ _ ,
ini terjadi pada saat x = 2a
Contoh 43
Jika domain dari fungsi pada contoh 42 b. adalah Df = {x| 0 _ x _ 2, x
b _ .
_ R}, tentukan
hat dari grafik pada jawaban contoh nomor 42b
kan selang terarsir pada sumbu x dan sumbu y, yaitu pada x = 0 nilai
2 2
rlu diperhatikan untuk mencari range adalah selain nilai pada ujung-ujung
2
_ f(-1) = (-1)2 – 2(-1) – 3 = 0
x = 4 _ f(4) = 42 – 2(4) – 3 = 5
range fungsi tersebut !
Jawab:
Domain dan range fungsi dapat dili
yang merupa
fungsi f(0) = 4(0) – 0 = 0, sedangkan x = 2 fungsi bernilai f(2) = 4.2 – 2 = 4.
Sehingga range berada pada interval 0 sampai 4 atau Rf = {y| 0 _ y _ 4, y _ R}.
Yang pe
interval yang diperiksa tetapi juga nilai maksimum atau minimum fungsi. Interval
range/daerah hasil diperoleh di antara nilai terkecil dan terbesar dari ketiga nilai
tersebut.
Contoh 44
Tentukan range f(x) = x – 2x – 3 dengan domain Df = {x| -1 _ x _ 4, x _ R} !
Jawab:
Nilai pada ujung-ujung interval
Untuk x = -1
Nilai maksimum/minimum y = 4
4a 4.1 4 _ _ _ _ _ _ _ b2 _ 4ac (_2)2 _ 4.1.(_3) 16
a nilai yang didapat dapat disimpulkan bahwa range fungsi tersebut adalah
Selembar plat berbentuk persegipanjang. Jika diketahui kelilingnya 180 cm, berapakah
n lebarnya = t
= 180
p.t = (90 – t)t
= 90t – t2
Dari ketig
Rf = {y| -4 _ y _ 5, y _ R}.
Contoh 45
luas maksimum plat tersebut ?
Jawab:
Misalkan panjang plat = p da
Keliling K = 2(p + t)
P + t = 90
Artinya p = 90 – t atau t = 90 – p.
Luas L =
70 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi
2
b2 _ 4ac 902 _ 4.(_1).
Luas maksimum = 2.025
4
8100
4.( 1)
0 _ cm
_
_ _
_
_ _
anlah nilai x dan y agar bentuk (x – 2y + 4)(-x + 2y + 8)
, dan tentukan pula nilai maksimum tersebut.
isalkan P = ( x – 2y + 4)(-x + 2y + 8)
= (x – 10 + 2x + 4)(-x + 10 – 2x + 8)
= -9x2 + 72x –108
4a
_
Contoh 46
Jika x + y = 5, Tentuk
mencapai nilai maksimum
Jawab:
M
x + y = 5
y = 5 – x substitusi pada P
P = (x – 2(5 – x) + 4)(-x + 2(5 – x) + 8 )
= (3x – 6)(-3x+18)
P mencapai maksimum jika : x =
2a
b
_
=
2(_9)
_
72 = 4
y = 5 – x
= 5 – 4 =1
8
= -9.4 + 72.4 – 108
= 36
. Rangkuman
. Bentuk umum fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c atau y = ax2 + bx + c. dimana
si kuadrat berbentuk parabola
uk menggambar grafik fungsi kuadrat adalah:
grafik dengan sumbu x, dengan mengambil y = 0.
c. Sumbu simetri grafik yaitu x =
P maksimumnya = -9x2 + 72x – 10
2
c
1
a, b, c _ R dan a _ 0. Grafik fung
2. Langkah-langkah yang ditempuh unt
a. Titik potong
b. Titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0.
2a
b _
d. Koordinat titik balik atau titik puncak (x, y) dinama x =
2a
_ b dan y =
4a
D _
dengan D = b2 – 4ac.
e. Grafik terbuka ke bawah jika a < 0 dan terbuka ke atas jika a > 0.
BAB II Konsep Fungsi 71
1. Tentukan: titik potong dengan sumbu x, sumbu y, persaman sumbu simetri,
a. f(x) = x2 – 3x – 4, Df ={x|-1< x < 4, x _ R} b. g(x) = x2 – 4, Dg ={x| 0 < x < 3, x _ R} ik (-1,1), tentukan 4, x _ B}. parabola. n peluru setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = 20t – 2t2 . Dari . Setelah berapa detik peluruh tersebut mencapai tinggi maksimum. ang diperlukan peluru hingga jatuh kembali ke tanah. h 1 . Nilai minimum fungsi f(x) = ax + bx – 8 adalah -9 dicapai pada x = 1, g dengan cara memotong kemudian mengelasnya untuk menyambungnya kembali, berapakah ukuran aksimum tersebut ! u 25 cm. Jika sisi miringnya 9 cm, tentukanlah luas maksimum segitiga tersebut. koordinat titik balik, gambar grafik dan range dari fungsi berikut ini! c. h(x) = -x2 + 6x, Dh ={x|-1 _ x _ 7, x _ R} d. k(x) = 2x2 – 3x + 3, Dk ={x|0 _ x _ 3, x _ R} 2. Bayangan x = -2 oleh fungsi f(x) = x2 – 3x + k – 1 adalah 0, tentukan nilai k dan gambar grafiknya! 3. Grafik fungsi g(x) = (a – 2)x2 – 3x + a – 4 melalui tit a. Nilai a b. Range fungsi dengan domain Dg = {x |-4 < x < 4. Tentukan nilai p agar fungsi kuadrat f(x) = px2 + 4x + 2 bernilai minimum sama dengan 3. 5. Sebuah peluru ditembakkan ke udara hingga lintasannya berbentuk Tinggi lintasa grafiknya, tentukanlah: a b. Tinggi maksimum peluruh tersebut. c. Waktu y 6. Jumlah dua bilangan sama dengan 20. Tentukan dua bilangan tersebut supaya hasil kalinya maksimum dan bilangan-bilangan itu ! 7. Tentukanlah nilai p dari data di bawah ini: a. Nilai maksimum px2 – 4x + p – 2 adala b. Nilai maksimum px2 + 4x + p adalah 3 8. Hitunglah nilai minimum dari x2 + y2 untuk 2x + y = 4. 9 2 tentukanlah: a. Nilai a dan b b. Sketsa gambar grafiknya 10. Sebatang besi 400 centimeter akan dibuat persegipanjan persegi panjang tersebut agar didapat luas persegi panjang yang maksimum dan hitung luas m 11. Keliling suatu segitiga siku-sik 72 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi 12. Luas dari kertas poster = 2m2. Bidang gambar pada kertas poster itu dibatasi dengan margin atas dan margin bawah masing-masing 21 cm, margin kiri dan margin kanan masing-masing selebar 14 cm. Jika panjang kertas poster adalah x dan luas bidang gambar adalah L. a. Nyatakan L sebagai fungsi dalam x at: Menentukan sifat-sifat fungsi kuadrat berdasarkan nilai diskriminannya Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya g berkaitan dengan fungsi kuadrat k eberapa kemungkinan kedudukan grafik dilihat dari harga diskriminan dan tanda a Nilai Diskriminan (D) b. Tentukan luas maksimum bidang gambar tersebut B.4 Menerapkan Konsep Fungsi Kuadrat a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dap _ _ _ Menyelesaikan masalah program keahlian yan b. Uraian Materi 1). Kedudukan Grafik fungsi kuadrat Kedudukan grafik fungsi kuadrat yang dilihat dari banyaknya titik potong dengan sumbu x, ditentukan oleh nilai diskriminan yaitu D = b2 – 4ac. Sedangkan gra embuka ke atas atau ke bawah ditentukan oleh tanda a (koefisien x2). Berikut fi mb (koefisien x2): D > 0 D = 0 D < 0 x x x a > 0
(a)
(b)
(c)
x
x x
Tanda a
(e)
(f)
(g)
a < 0 Gambar II.d : Kedudukan f ngs asarkan nilai a Keterangan: a) Pada (a) dan (e) untuk D > 0 grafik memotong sumbu x di dua titik, jika a > 0
grafik membuka ke atas sebaliknya membuka ke bawah untuk a < 0. u i kuadrat berd D dan tanda BAB II Konsep Fungsi 73 b) Pada (b) dan (f) untuk D = 0 gra otong di satu u menyinggung sumbu x. c) Pada n (g) grafik tidak memot ng sumbu x i). Untuk a > 0 dan D < 0 seluruh rafik berada di atas sumbu x artinya seluruh peta atau nilai po luruh harga sa disebut deng a < 0 dan D < 0 seluruh grafik berada di bawah sumbu x artinya seluruh peta atau nilai fungsi bernilai negatif untuk seluruh harga x dan ini biasa mbar sebutkan sifat-sifat fungsi kuadrat f(x) = x – 3x – 4 , maka grafik membuka ke atas 2 2 ng terbuka ke atas dan memotong sumbu x di berbeda (a > 0 dan D > 0).
nilai k supaya grafik fungsi kuadrat berikut menyinggung sumbu x !
2) x2 + 10kx + 16 b. g(x) = mx2 + ( m + 1)x + 1
D = 0
36 k – 64 = 0
)(6k + 8) = 0
0
6k = 8 6k = -8
k =
fik mem titik ata
(c) da o
g
nilai fungsi ber sitif untuk se x dan ini bia
an definit positif.
ii). Untuk
disebut dengan definit negatif.
Contoh 47
Tanpa mengga 2
Jawab:
f(x) = x2 – 3x – 4
y = x2 – 3x – 4, diperoleh a = 1, b = -3 dan c = - 4
_ a = 1 berarti a > 0 ( a positif )
_ D = b – 4ac =(-3) – 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25
Karena D > 0 ( D positif ), maka grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
Jadi, grafik fungsi f berupa parabola ya
dua titik yang
Contoh 48
Tentukan
a. f(x) = (1 + k
Jawab:
a. Dari rumus fungsi a = 1 + k2, b = 10k dan c = 16
Grafik menyinggung sumbu x, jika D = 0
b2 – 4ac = 0
(10k)2 – 4(1+k2)16 = 0
100 k2 – 64 – 64 k2 = 0
2
(6k – 8
6k – 8 = 0 atau 6k + 8 =
6
8 k = -
6
8
k =
3
4 k = -
3
4
b. Agar g(x) = mx + ( m + 1)x + 1 grafikn
2
2 ya menyinggung sumbu x, D = 0
D = b – 4ac
74 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi
0 = (m+1)2 – 4.m.1
0 = m2 – 2m + 1
0 = (m – 1)2
) = mx2 + ( menyinggung sumbu x, nilai m = 1
2). k Persamaan ng adrat
Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dicari jika kondisi-kondisi dibawah ini diketahui:
1 2 (x3,y3)
maannya adalah y = a(x – x1)(x – x2).
titik balik P(xp,yp) serta melalui titik sembarang (x1,y1) pada
rsamaannya adalah y = a(x – xp)2 + yp.
aannya
ai titik balik di titik (1,-1) serta
itik (2,3) dan dari
-2 x
m = 1
Jadi agar g(x m + 1)x + 1
Menentu an Grafik Fu si Ku
a) Grafik memotong sumbu x di (x ,0) dan (x ,0) serta melalui titik sembarang
pada grafik, maka persa
b) Grafik mempunyai
grafik, maka pe
c) Grafik melalui tiga buah titik yaitu (x1,y1), (x2,y2) dan (x3,y3), maka persam
adalah y = ax2 + bx + c.
Contoh 49
Tentukan persamaan grafik fungsi yang mempuny
melalui (2, 3).
Jawab:
Kondisi yang di ketahui adalah titik balik P(1,-1) serta melalui t
kondisi tersebut kita dapat xp = 1 dan yp = -1 sehingga persamaannya adalah
y = a(x – 1)2 + (-1) grafik melalui (2, 3) didapat
3 = a(2 – 1)2 + (-1)
3 = a –1
a = 4
Sehingga y
y =
= 4(x – 1)2 + (-1)
2 2
50
4(x – 2x +1) – 1 = 4x – 8x + 3
Contoh
Tentukan persamaan grafik dari fungsi grafik seperti pada gambar di bawah ini!
a. b.
y
3
(1,6) (-1,3)
(1,-3)
y
4 x
BAB II Konsep Fungsi 75
bu x di titik (-2, 0) (3, 0)
Sehingga y = a(x + 2)(x – 3) melalui titik (1, 6)
6 = a(1 + 2)(1 – 3)
6 = a(3)(-2)
6 = -6a
a = -1
ubstitusikan kembali a = -1 ke y = a(x + 2)(x – 3) didapat
= -1(x + 2)(x – 3) = -1(x2 – 3x + 2x – 6)
= -x2 + x + 6
aan grafik fungsi adalah y = -x2 + x + 6.
n (4,0). Gunakan persamaan
+ c
b + c . . . 1)
a(1)2 + b(1) + c
c . . . 3)
Jawab:
a. Grafik memotong sum dan
S
y
Jadi persam
b. Grafik melalui tiga buah titik, yaitu (-1,3), (1,-3) da
bentuk y = ax2 + bx + c
(-1,3) _ 3 = a(-1)2 + b(-1)
3 = a –
(1,-3) _ -3 =
-3 = a + b + c . . . 2)
(4,0) _ 0 = a(4)2 + b(4) + c
0 = 16a + 4b +
Eliminasi persamaan 1) dan 2) didapat
a – b + c = 3
a + b + c = -3 –
-2b = 6
b = -3
Eliminasi persamaan 1) dan 3) didapat
16a + 4b + c = 0
a – b + c = 3 –
15a + 5b = -3 substitusi b = -3
didapat 15a + 5b = -4
5(-3) = -3
– 15 = -3
a = 12
a =
didapat a – b + c = 3
titusi a = , b = -3 dan c = ke persam + bx + c, sehingga
ersamaan yang adalah y = x2 – 3x –
15a +
15a
15
5
4
15
12
_
Substitusi a = dan b = -3 ke persamaan 1)
4
5
3 = a – b + c
3 = - (-3) + c
4
5
c = -
5
4
Subs aan y
- = ax2
p dicari
5
4
5
4
5
4
5
4
76 Matematika X I S M K K e l o m p o k : P e n j u a l a n d a n Akuntansi
c. Rangkuman
1. Kedudukan grafik fungsi kuadrat ditinjau dari nilai diskriminan ( D ) dan a adalah
bagai berikut:
a grafik memotong sumbu x di dua titik
b. Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu x
D < 0 maka grafik tidak memotong sumbu x d. Jika a > 0 maka grafik terbuka ke atas dan diperoleh titik puncak minimum
imum
a ka k ndisi-kondisi di bawah ini
a. Grafik memotong sumbu x di (x , 0) dan (x , 0) serta melalui titik sembarang
i titik sembarang (x1, y1)
p)2 + yp.
(x , y ) dan (x , y ), maka
a. f. y = 2x – x
sumbu x di titik elalui titik (2,1).
n sumbu x adalah melalui titik ( 0, 9)
dan melalui titi
titik puncak P(
itik (1, 0), (-1, -2)
-3), (2, 5), dan (3,12)
7.
2 dan 5,
se
a. Jika D > 0 mak
c. Jika
e. Jika a < 0 maka grafik terbuka ke bawah dan diperoleh titik puncak maks
2. Persamaan grafik fungsi kuadr t dapat dicari ji o
diketahui:
1 2
(x3, y3) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a(x – x1)(x – x2).
b. Grafik mempunyai titik balik P(xp, yp) serta melalu
pada grafik, maka persamaannya adalah y = a(x – x
c. Grafik melalui tiga buah titik yaitu (x1, y1), 2 2 3 3
persamaannya adalah y = ax2 + bx + c.
1. Tentukanlah sifat-sifat grafik fungsi kuadrat berikut berdasarkan nilai a dan
diskriminannya:
y = x2 – 12x + 20 2 + 1
b. y = -x2 – 4x – 10
c. y = x2 – 12x + 36
g. y = 6x2 + 9x
h. y = 6x2 – 17x + 5
d. y = (x – 4)2
e. y = -x2 – 2x + 35
i. y = -x2 – x + 10
j. y = -x2 – 4x + 5
2. Tentukanlah batas-batas nilai m supaya grafik fungsi menyinggung sumbu x
a. f(x) = x2 – 2mx + (3m + 4) c. f(x) = (m – 1)x2 – 2mx + (m – 2)
b. g(x) = mx2 + 6x + 9 d. h(x) = mx2 + ( m + 1)x + 1
3. Tentukan persamaan grafik fungsi berikut:
a. Grafik memotong (-1, 0) dan (1, 0) serta m
b. Titik potong denga erta
c )
(-3, 0) dan (1, 0) s
. Titik puncak (3, 1
punyai
k (0, 8)
d. Grafik mem 2, 1) serta melalui titik (0, 4).
e. Grafik melalui t
f. Grafik melalui (-2,
dan titik (3, 1).
4. Tentukan fungsi kuadrat jika grafiknya mempunyai titik balik P(3,-1) serta f(1) =
5. Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai nilai-nilai nol (pembuat nol)
sedangkan nilai maksimumnya adalah 9!
BAB II Konsep Fungsi 77
6. Tentukan persamaan grafik fungsi dari gambar berikut:
a. b. c.
7. Koordinat titik puncak grafik fungsi y = ax2 + bx + 5 ialah (4,9), tentukan nilai a
dan b!

Tidak ada komentar:

Posting Komentar